C++手撕红黑树

C++
2.6k words

红黑树

概念

和AVL树一样，红黑树也是一种二叉搜索树，是解决二叉搜索树不平衡的另一种方案，他在每个节点上增加一个存储位，用于表示节点的颜色，是Red或者Black

红黑树的核心思想是通过一些着色的条件限制，达到一种最长路径不超过最短路径的两倍的状态

所以说红黑树并不是严格平衡的树，而是一种近似平衡

例如

2024-04-08 134510.png

性质（条件限制）

红黑树一共有五条性质，由此来保证最长路径不超过最短路径的两倍

  1. 每个节点都有颜色，不是黑色就是红色
  2. 根节点是黑色的
  3. 如果一共节点是红色，那么他的子节点一定是黑色（不会出现两个红色节点连接的情况）
  4. 对于每个节点，以这个节点到所有后代的任意路径上，均包含相同数目的黑色节点
  5. 每个叶子节点（空节点）是黑色的（为了满足第四条性质，某些情况下如果没有第五条第四条会失效）

节点的定义

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// 颜色
enum Color {
	RED,
	BLACK
};

template<class T>
struct RBTreeNode {
	RBTreeNode<T>* _left;
	RBTreeNode<T>* _right;
	RBTreeNode<T>* _parent;

	T _data;

	Color _col;

	RBTreeNode(const T& data) 
		:_left(nullptr)
		,_right(nullptr)
		,_parent(nullptr)
		,_data(data)
		,_col(RED)
	{}
};

我们定义颜色时，使用枚举类型，可以方便且明了的看到颜色

除此之外我们默认插入节点是红色的，因为一旦插入节点是黑色，就会违反第四条规则，如果要满足的话，就要走到每一条路径上插入对应的黑色节点，代价巨大

当插入节点是红色时，有可能会违反第三条规则，但是我们可以通过变色，旋转等操作在局部进行改变，这样就能使之仍然满足条件

红黑树的结构

为了后续利用红黑树封装map和set，我们对红黑树增加一个头节点，为了和根节点进行区分，我们将头节点赋为黑色，并且让头节点的parent指向根节点，left指向红黑树的最小节点，right指向最大节点，如图

image.png

红黑树的插入

红黑树插入时也是按照二叉搜索树的规则进行插入，并在此基础上加上平衡条件，因此插入也就分为两步

  1. 按照二叉搜索树的规则插入新节点
  2. 插入节点后检测规则是否被破坏

因为插入红节点时只有可能破坏第三条规则，因此我们只需要判断父节点是否为红色即可

然后我们分情况讨论

为了方便叙述，我们约定cur为插入节点，p为父节点，g为祖父节点，u为叔叔节点

cur为红，p为红，g为黑，u存在且为红

画出来是这样的

image.png

这时我们需要将g改为红色，p和u改为黑色即可，这样既能保证红色不连续，黑色数量一致，如图

image.png

但是如果g是是子树，那么g一定有父节点，当g的父节点也是红色时，也就同样需要向上调整了

cur为红，p为红，g为黑，u不存在或u为黑，插入到p对应的一边

画出来是这样的

image.png

u的情况有两种

  1. u节点不存在，说明cur一定是新插入的节点，因为要保证左右两个路径的黑色节点的数量相同
  2. u节点存在，说明cur节点是由下至上调整的红色，原因也是左右路径的黑色节点要相同

对于这两种情况的调整方法是相同的，如果p是g的左节点，cur为p的左节点，则右单旋，如果p是g的右节点，cur为p的右节点，则左单旋

同时p要变成黑色，g要变成红色

变成如下状态

image.png

那么因为最上面的根节点颜色没有变化，也就不需要继续向上调整了

cur为红，p为红，g为黑，u不存在或u存在且为黑，插入到与p相反的一边

如图

image.png

这种情况需要针对p进行单旋，如果p为g的左节点，cur为p的右节点，则对p左单旋，反之则为右单旋，此时就会变成第二种情况，再继续处理即可

第一次处理的结果如下

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示例代码

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template<class K, class T, class KeyOfT>
class RBTree {
	typedef RBTreeNode<T> Node;
public:
	pair<Node*, bool> Insert(const T& data) {
		// 插入根节点直接返回
		if (_root == nullptr) {
			_root = new Node(data);
			_root->_col = BLACK;
			return make_pair(_root, true);
		}

		Node* parent = nullptr;
		Node* cur = _root;
		KeyOfT kot;

		// 平衡二叉树找到插入位置
		while (cur) {
			if (kot(cur->_data) < kot(data)) {
				parent = cur;
				cur = cur->_right;
			} else if (kot(cur->_data) > kot(data)) {
				parent = cur;
				cur = cur->_left;
			} else {
				return make_pair(cur, false);
			}
		}

		// 新建节点
		cur = new Node(data);
		Node* newnode = cur;
		cur->_col = RED;

		// 连接父节点
		if (kot(parent->_data) < kot(data)) {
			parent->_right = cur;
			cur->_parent = parent;
		} else {
			parent->_left = cur;
			cur->_parent = parent;
		}

		// 如果父节点存在且父节点为红色则需要调整
		while (parent && parent->_col == RED) {
			Node* grandfather = parent->_parent;
			if (parent == grandfather->_left) {
				//     g
				//   p   u
				// c 
				// 判断u是否存在和他的颜色
				Node* uncle = grandfather->_right;
				// 如果存在且为红色
				if (uncle && uncle->_col == RED) {
					// 变色
					parent->_col = BLACK;
					uncle->_col = BLACK;
					grandfather->_col = RED;

					// 向上调整
					cur = grandfather;
					parent = cur->_parent;
				} else {
					// 如果不存在或u为黑色，需要判断同侧还是异侧
					// 如果是同侧
					if (cur == parent->_left) {
						//     g
						//   p
						// c
						RotateR(grandfather); // 右旋

						// 调整颜色
						parent->_col = BLACK;
						grandfather->_col = RED;
					} else {
						//    g
						//  p
						//    c
						RotateL(parent);
						RotateR(grandfather);
						cur->_col = BLACK;
						grandfather->_col = RED;
					}
					break;
				}

			} else { // p = g->r
				Node* uncle = grandfather->_left;
				//     g
				//   u   p
				//         c
				// 判断u是否存在和他的颜色
				// 如果存在且为红色
				if (uncle && uncle->_col == RED) {
					// 变色
					parent->_col = BLACK;
					uncle->_col = BLACK;
					grandfather->_col = RED;

					// 向上调整
					cur = grandfather;
					parent = cur->_parent;
				} else {
					if (cur == parent->_right) {
						RotateL(grandfather);
						parent->_col = BLACK;
						grandfather->_col = RED;
					} else {
						//     g
						//   u   p 
						//     c
						//
						RotateR(parent);
						RotateL(grandfather);
						cur->_col = BLACK;
						grandfather->_col = RED;
					}
					break;
				}
			}
		}

		_root->_col = BLACK;

		return make_pair(newnode, true);


	}

	void RotateL(Node* parent) {
		Node* subR = parent->_right;
		Node* subRL = subR->_left;

		parent->_right = subRL;
		subR->_left = parent;

		Node* parentParent = parent->_parent;

		parent->_parent = subR;
		if (subRL)
			subRL->_parent = parent;
		else {
			if (parentParent->_left == parent) {
				parentParent->_left = subR;
			} else {
				parentParent->_right = subR;
			}

			subR->_parent = parentParent;
		}
	}

	void RotateR(Node* parent) {
		Node* subL = parent->_left;
		Node* subLR = subL->_right;

		parent->_left = subLR;
		if (subLR)
			subLR->_parent = parent;

		Node* parentParent = parent->_parent;

		subL->_right = parent;
		parent->_parent = subL;

		if (_root == parent) {
			_root = subL;
			subL->_parent = nullptr;
		} else {
			if (parentParent->_left == parent) {
				parentParent->_left = subL;
			} else {
				parentParent->_right = subL;
			}

			subL->_parent = parentParent;
		}
	}
private:
	Node* _root = nullptr;
};

红黑树的验证

红黑树要验证需要验证两个部分

  1. 检测是否中序遍历是有序序列
  2. 检测是否满足红黑树的性质

这里我们就不讲红黑树的删除了，完成红黑树的验证之后就算作已经完成了任务，接下来会使用红黑树模拟实现map和set

红黑树与AVL树的比较

红黑树和AVL树都是高效的平衡二叉树，但是红黑树不追求绝对的平衡，降低了插入和旋转的次数，因此性能比AVL更优，而且红黑树比AVL树的实现更加简单，所以实际中运用红黑树更多

完整代码

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#pragma once
#include<utility>
#include<iostream>
using namespace std;
// 颜色
enum Color {
	RED,
	BLACK
};

template<class T>
struct RBTreeNode {
	RBTreeNode<T>* _left;
	RBTreeNode<T>* _right;
	RBTreeNode<T>* _parent;

	T _data;

	Color _col;

	RBTreeNode(const T& data)
		:_left(nullptr)
		, _right(nullptr)
		, _parent(nullptr)
		, _data(data)
		, _col(RED) {}
};


template<class K, class T, class KeyOfT>
class RBTree {
	typedef RBTreeNode<T> Node;
public:
	pair<Node*, bool> Insert(const T& data) {
		
		if (_root == nullptr) {
			_root = new Node(data);
			_root->_col = BLACK;
			return make_pair(_root, true);
		}

		Node* parent = nullptr;
		Node* cur = _root;
		KeyOfT kot;

		// 平衡二叉树找到插入位置
		while (cur) {
			if (kot(cur->_data) < kot(data)) {
				parent = cur;
				cur = cur->_right;
			} else if (kot(cur->_data) > kot(data)) {
				parent = cur;
				cur = cur->_left;
			} else {
				return make_pair(cur, false);
			}
		}

		// 新建节点
		cur = new Node(data);
		Node* newnode = cur;
		cur->_col = RED;

		// 连接父节点
		if (kot(parent->_data) < kot(data)) {
			parent->_right = cur;
			cur->_parent = parent;
		} else {
			parent->_left = cur;
			cur->_parent = parent;
		}

		// 如果父节点存在且父节点为红色则需要调整
		while (parent && parent->_col == RED) {
			Node* grandfather = parent->_parent;
			if (parent == grandfather->_left) {
				//     g
				//   p   u
				// c 
				// 判断u是否存在和他的颜色
				Node* uncle = grandfather->_right;
				// 如果存在且为红色
				if (uncle && uncle->_col == RED) {
					// 变色
					parent->_col = BLACK;
					uncle->_col = BLACK;
					grandfather->_col = RED;

					// 向上调整
					cur = grandfather;
					parent = cur->_parent;
				} else {
					// 如果不存在或u为黑色，需要判断同侧还是异侧
					// 如果是同侧
					if (cur == parent->_left) {
						//     g
						//   p
						// c
						RotateR(grandfather); // 右旋

						// 调整颜色
						parent->_col = BLACK;
						grandfather->_col = RED;
					} else {
						//    g
						//  p
						//    c
						RotateL(parent);
						RotateR(grandfather);
						cur->_col = BLACK;
						grandfather->_col = RED;
					}
					break;
				}

			} else { // p = g->r
				Node* uncle = grandfather->_left;
				//     g
				//   u   p
				//         c
				// 判断u是否存在和他的颜色
				// 如果存在且为红色
				if (uncle && uncle->_col == RED) {
					// 变色
					parent->_col = BLACK;
					uncle->_col = BLACK;
					grandfather->_col = RED;

					// 向上调整
					cur = grandfather;
					parent = cur->_parent;
				} else {
					if (cur == parent->_right) {
						RotateL(grandfather);
						parent->_col = BLACK;
						grandfather->_col = RED;
					} else {
						//     g
						//   u   p 
						//     c
						//
						RotateR(parent);
						RotateL(grandfather);
						cur->_col = BLACK;
						grandfather->_col = RED;
					}
					break;
				}
			}
		}

		_root->_col = BLACK;

		return make_pair(newnode, true);


	}

	void RotateL(Node* parent) {
		Node* subR = parent->_right;
		Node* subRL = subR->_left;

		parent->_right = subRL;
		subR->_left = parent;

		Node* parentParent = parent->_parent;

		parent->_parent = subR;
		if (subRL)
			subRL->_parent = parent;
		else {
			if (parentParent->_left == parent) {
				parentParent->_left = subR;
			} else {
				parentParent->_right = subR;
			}

			subR->_parent = parentParent;
		}
	}

	void RotateR(Node* parent) {
		Node* subL = parent->_left;
		Node* subLR = subL->_right;

		parent->_left = subLR;
		if (subLR)
			subLR->_parent = parent;

		Node* parentParent = parent->_parent;

		subL->_right = parent;
		parent->_parent = subL;

		if (_root == parent) {
			_root = subL;
			subL->_parent = nullptr;
		} else {
			if (parentParent->_left == parent) {
				parentParent->_left = subL;
			} else {
				parentParent->_right = subL;
			}

			subL->_parent = parentParent;
		}
	}

	void InOrder() {
		_InOrder(_root);
		cout << endl;
	}

	void _InOrder(Node* root) {
		if (root == nullptr)
			return;
		_InOrder(root->_left);
		cout << root->_data << ' ';
		_InOrder(root->_right);
	}

	bool Check(Node* root, int blacknum, const int refVal) {
		if (root == nullptr) {
			if (blacknum != refVal) {
				cout << "存在黑色节点数量不相等的路径" << endl;
				return false;
			}
			return true;
		}

		if (root->_col == RED && root->_parent->_col == RED) {
			cout << "存在连续的红节点" << endl;
			return false;
		}

		if (root->_col == BLACK) {
			++blacknum;
		}
		
		return Check(root->_left, blacknum, refVal) && Check(root->_right, blacknum, refVal);
	}

	bool IsBalance() {
		if (_root == nullptr)
			return true;

		if (_root->_col == RED)
			return false;

		int refVal = 0; // 参考值
		Node* cur = _root;
		while (cur) {
			if (cur->_col == BLACK) {
				++refVal;
			}
			cur = cur->_left;
		}

		int blacknum = 0;
		return Check(_root, blacknum, refVal);
	}

	int Height() {
		return _Height(_root);
	}

	int _Height(Node* root) {
		if (root == nullptr)
			return 0;

		int leftH = _Height(root->_left);
		int rightH = _Height(root->_right);

		return leftH + rightH;
	}

	size_t Size() {
		return _Size(_root);
	}

	size_t _Size(Node* root) {
		if (root == nullptr)
			return 0;
		return _Size(root->_left) + _Size(root->_right) + 1;
	}

	Node* Find(const K& key) {
		Node* cur = _root;
		while (cur) {
			if (cur->_data < key) {
				cur = cur->_right;
			}
			else if (cur->_data > key) {
				cur = cur->_left;
			}
			else {
				return cur;
			}
		}
		return nullptr;
	}

private:
	Node* _root = nullptr;
};
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